Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & - 4 & - 12 \end{array}]$

Etapa 1

Consider the corresponding sign chart.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calculate the minor for element $a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 6 \\ - 4 & - 12 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 2 \cdot - 12 - (- 4 \cdot 6)$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$a_{11} = - 24 - (- 4 \cdot 6)$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$a_{11} = - 24 - - 24$

Etapa 2.1.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 24$ .

$a_{11} = - 24 + 24$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 24$ e $24$ .

$a_{11} = 0$

Etapa 2.2

Calculate the minor for element $a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 6 \\ 0 & - 12 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 0 \cdot - 12 + 0 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 12$ .

$a_{12} = 0 + 0 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $6$ .

$a_{12} = 0 + 0$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$a_{12} = 0$

Etapa 2.3

Calculate the minor for element $a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 2 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 0 \cdot - 4 + 0 \cdot 2$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 4$ .

$a_{13} = 0 + 0 \cdot 2$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $2$ .

$a_{13} = 0 + 0$

Etapa 2.3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$a_{13} = 0$

Etapa 2.4

Calculate the minor for element $a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ - 4 & - 12 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 0 \cdot - 12 - (- 4 \cdot 0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $- 12$ .

$a_{21} = 0 - (- 4 \cdot 0)$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- (- 4 \cdot 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$a_{21} = 0 - 0$

Etapa 2.4.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$a_{21} = 0 + 0$

Etapa 2.4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$a_{21} = 0$

Etapa 2.5

Calculate the minor for element $a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 12 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot - 12 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$a_{22} = - 12 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$a_{22} = - 12 + 0$

Etapa 2.5.2.2.2

Some $- 12$ e $0$ .

$a_{22} = - 12$

Etapa 2.6

Calculate the minor for element $a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & - 4 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$a_{23} = - 4 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$a_{23} = - 4 + 0$

Etapa 2.6.2.2.2

Some $- 4$ e $0$ .

$a_{23} = - 4$

Etapa 2.7

Calculate the minor for element $a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 0 \\ 2 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 0 \cdot 6 - 2 \cdot 0$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $0$ por $6$ .

$a_{31} = 0 - 2 \cdot 0$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$a_{31} = 0 + 0$

Etapa 2.7.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$a_{31} = 0$

Etapa 2.8

Calculate the minor for element $a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 6 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$a_{32} = 6 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$a_{32} = 6 + 0$

Etapa 2.8.2.2.2

Some $6$ e $0$ .

$a_{32} = 6$

Etapa 2.9

Calculate the minor for element $a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Evaluate the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$a_{33} = 2 + 0 \cdot 0$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $0$ por $0$ .

$a_{33} = 2 + 0$

Etapa 2.9.2.2.2

Some $2$ e $0$ .

$a_{33} = 2$

Etapa 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the $-$ positions on the sign chart.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 12 & 4 \\ 0 & - 6 & 2 \end{array}]$

Etapa 3

Transpose the matrix by switching its rows to columns.

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 12 & - 6 \\ 0 & 4 & 2 \end{array}]$